W logu znalazłem:
postfix/master[15188]: fatal: fifo_listen: remove public/pickup: Permission denied
Sprawdzam dokładniej w czym rzecz:
# /etc/init.d/postfix check
postsuper: fatal: scan_dir_push: open directory defer: Permission denied

Coś jest nie tak z uprawnieniami do spoola. Pomaga ustawienie na:
chown postfix.postdrop -R /var/spool/postfix
(chociaż oryginalnie uprawnienia są trochę inne)